Loi hypergéométrique

Définition

Définition :
$\mathcal{Hypergéom}(N,M,n)$ est la loi du nombre d'objets remarquables tirés quand on tire au hasard sans remise $n$ objets dans un tas de $N$ objets dont $M$ sont remarquables

Formule

Loi hypergéométrique de paramètres $n\in{\Bbb N}^*,M\in\{0,\ldots,N\}$ et $n\in\{1,\ldots,N\}$ : $$X\sim{{\mathcal{Hypergéom}(N,M,n)}}\iff P(X=k)=\begin{cases}{{\cfrac{\binom Mk\binom{N-M}{n-k} }{\binom Nn} }}&\text{si}\quad {{0\leqslant k\leqslant M\quad\text{ et }\quad0\leqslant n-k\leqslant N-M}}\\ {{0}}&\text{sinon.}&\end{cases}$$

Propriétés

Théorème de convergence des hypergéométriques vers les binomiales

Liens avec la loi de Bernoulli

Proposition :
$$\mathcal{Hypergéom}({{N,1,n}})={{\mathcal{Ber}\left(\frac nN\right)}}$$
(Loi de Bernoulli)

Liens avec une mesure de Dirac

Proposition : $$\mathcal{Hypergéom}({{N,M,N}})={{\delta_M}}$$
(Mesure de Dirac)

Espérance

$$X\sim{{\mathcal{Hypergéom}(N,M,n)}}\implies E(X)={{n\frac MN}}$$